2007年5月25日 星期五

機動學 作業十

作業十 b94611042 王志豪 (Due date: 12pm May 23, 2007)
我有上本週5/17的課

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題目:

1.請聲明本週(5/17)有來上課。

2.請思考速度與加速度的問題,當一桿以某特定點M等角速度迴轉時,其端點P之速度方向如何?其加速度方向如何?若該特定點M復以等速水平運動,則同一端點P之速度與加速度方向會變為如何?若M點同時也有加速度,則點P會有何變化?若以此推理四連桿的運動,則點P與Q之速度與加速度方向會與桿一(固定桿)之兩端點之關係如何?與我們前面的作業分析結果有無共通之處?(參看第六章之四連桿機構之運動分析)

3.設有一運動之曲柄滑塊連桿組合,設滑塊之偏置量為零,且在水平方向移動,試以此機構之曲桿長度及角度,以及連結桿之長度為輸入項,利用matlab寫出一程式計算在不同曲柄角度時,六點瞬心之對應位置。可順便探討六點瞬心與曲柄角間之關係。

10.1
我有上本週5/17的課



10.2
==>請思考速度與加速度的問題,當一桿以某特定點M等角速度迴轉時,其端點P之速度方向如何?其加速度方向如何?若該特定點M復以等速水平運動,則同一端點P之速度與加速度方向會變為如何?若M點同時也有加速度,則點P會有何變化?若以此推理四連桿的運動,則點P與Q之速度與加速度方向會與桿一(固定桿)之兩端點之關係如何?與我們前面的作業分析結果有無共通之處?(參看第六章之四連桿機構之運動分析)
Ans:

(1)
P點指的是桿三以及桿四相交的位置.
在此,我以r1,r2,r3,r4來分別表示各桿.
這時後,即可用老師上課所用的方法.首先,我們找出r1、r3的瞬時中心M13.
其位置會在r2、r4的延長線上,所以我們可以很清楚的看出來P點的速度以及加速度方向.
P的速度方向應該是在垂直r2的方向,而加速度是在r2的方向.














基本桿圖示意

若要比較科學化的分析,也可以如此看待:
一開始,先假設PM間距離為r(單位m).
而此時M就以等角速度ω(單位rad/s)轉動.
則P點此時有速度r*ω(m/s),其方向與r為垂直方向,且有向心加速度r*ω^2(單位m/s^2)










精簡化分析


(2)
那麼,假若該特定點M復以等速水平運動,則同一端點P之速度與加速度方向又會變為如何呢?
簡單來說,假若M複以V(m/s)等速水平移動,則P點此時之速度為:

==> V+ω*r ,其中方向為其向量合.

至於加速度方面則不受影響,依舊為r*ω^2,維持不變.














向量合力圖

(3)
而談到若M點同時也有加速度,則關於點P的變化,茲說明如下:
一言以蔽之,由於M點有了加速度,故此時P點的加速度將不再只有法線加速度而已.
它的切線方向理論上也會有一個切線加速度.
不過,在此和M有水平速度不一樣的地方在於M有無加速度這項條件.
其實並不會影響到P點的速度以及加速度方向!!!
它所能影響的,不外乎只有速度以及加速度的大小而已.
這其實就是物理上所學的,關於力的方向可以各自獨立計算.
加速度大致會變成:V(m/s)+r*ω^2*cos(θ)(m/s) i + r*ω^2*sin(θ)(m/s) j


(4)
藉由上面這些條件,我們便可以開始分析四連桿的運動了.
首先,關於速度的部份,可知P的速度是在垂直r2方向,Q則是在垂直r4的方向.
加速度的部份,P在r2的延長線上,Q則是位於r4的延長線上面.
P之速度方向是P與桿一端點連線的垂直方向,加速度方向則是P與桿一端點的連線方向.
Q的速度方向,則就是Q與桿一端點連線垂直,加速度方向則為Q與桿一端點的同一連線方向.

除此之外,若是桿三驅動的話,可以看出P的速度方向就是在垂直r3的方向,P的加速度就是在r3的方向上.

而當桿三有了加速度,假設為a......
此時桿三除了角速度W1以外還會有另一個隨時間變動的角速度at.
結果跟我們分析一開始桿二驅動的時候有點類似:
都是只會影響速度以及加速度的大小,而不影響速度與加速度的方向.














參考用的基本示意圖,可與解說對照了解

另外,以桿三為驅動桿,較為特別之處,在於我們要利用Q.R的瞬時中心M24!
有了M24,我們可以發現P和Q之間的速度以及加速度方向是一樣的.
只不過,由於兩者和瞬時中心間的距離不同,所以速度跟加速度的大小也會不同.



10.3

==>設有一運動之曲柄滑塊連桿組合,設滑塊之偏置量為零,且在水平方向移動,試以此機構之曲桿長度及角度,以及連結桿之長度為輸入項,利用matlab寫出一程式計算在不同曲柄角度時,六點瞬心之對應位置。可順便探討六點瞬心與曲柄角間之關係。
Ans:

在此,我是參照課本上的一個function slider_solve 來改寫的.
以下是我變形過的new function

主程式
==>
function slider_draw(R,L,e)
%R=桿一長
%L=桿二長
%e=偏置量
the1=slider_limit(R,L,e)
the2=90
ang=linspace(the1,the2,100);
d=slider_solve(ang,R,L,e,1);

x=R*cosd(ang);
y=R*sind(ang);
for n=1:100
hold on
line([0,x(n),d(n)],[0,y(n),e]);
line([d(n)-3,d(n)+3,d(n)+3,d(n)-3,d(n)-3],[e-2,e-2,e+2,e+2,e-2]);
plot(0,0,'go')
plot(x(n),y(n),'go')
plot(d(n),e,'go')
plot([0,0],[0,e-d(n)*(y(n)-e)/(x(n)-d(n))],'go:')
plot([x(n),0],[y(n),e-d(n)*(y(n)-e)/(x(n)-d(n))],'go:')
plot([x(n),d(n)],[y(n),y(n)*d(n)/x(n)],'go:')
plot([d(n),d(n)],[0,y(n)*d(n)/x(n)],'go:')
axis equal
axis ([-110 110 -110 110]);
pause(0.08)
clf
end

%以上,程式的主要概念在於先畫出外型,然後再做出瞬心位置,最後plot上去.

以下即分別是
R > L
R < L
R = L
三種不同情況下曲柄滑塊連桿的運動狀況:









以上是關於曲柄滑塊連桿組合運動狀況的部份.
接下來,即便是關於計算瞬心的部份了.
基本上,瞬心以甘迺迪定理可定出.....
瞬心13可由12及23的連線14及34的連線交點獲得.
24則為23及34連線與12及14連線之交點獲得.
在此,我寫了一個專門關於計算瞬心位置的function

function [M12,M13,M14,M23,M24,M34]=Centor(r2,th2,r3,th3)
M12=[0,0]
M13=M23-[r2*sin(th2)/tan(th2),r2*sin(th2)]
M14=[r2*cos(th2)+r3*cos(th3),0]
M23=[r2*cos(th2),r2*sin(th2)]
M24=M23+[r3*cos(th3),r3*cos(th3)*tan(th3)]
M34=M23+[r3*cos(th3),r3*sin(th3)]

這個程式基本上,是可以幫我們找出六個瞬心的!
而為了將他們畫出來,由上面這個瞬心function,可以延伸出一個新function.

function [M12,M13,M14,M23,M24,M34]=PrintCenter(r2,theta2,r3,theta3)
M12=[0,0]
M13=M23-[r2*sin(th2)/tan(th2),r2*sin(th2)]
M14=[r2*cos(th2)+r3*cos(th3),0]
M23=[r2*cos(th2),r2*sin(th2)]
M24=M23+[r3*cos(th3),r3*cos(th3)*tan(th3)]
M34=M23+[r3*cos(th3),r3*sin(th3)]
x1=0;
x2=r2*cos(th2);
x3=x2+r3*cos(th3);
x4=r2*cos(th2)+r3*cos(th3);
x5=x2-(r2*sin(th2)/tan(th3))
x6=x2+r3*cos(th3)
y1=0;
y2=r2*sin(th2)
y3=y2+r3*sin(th3)
y4=0
y5=y2-r2*sin(th2)
y6=y2+(r3*cos(th3)*tan(th2))
Print1=[x1 y1;x5 y5;x3 y3;x4 y4;x1 y1;x6 y6;x4 y4;x1 y1]
line(Print1(:,1),Print1(:,2))
text(x1,y1,'M12')
text(x2,y2,'M23')
text(x3,y3,'M34')
text(x4,y4,'M14')
text(x5,y5,'M13')
text(x6,y6,'M24')

而此時,又可以再度利用上面這個瞬心程式,做出另一個動畫哩.

主程式
==>
AXIS([-40 40 -40 40]);
for th1=0:5:360
AXIS([-40 40 -40 40]);
PrintCenter(20,th1,15,85)
pause(0.2)
clf
end














瞬心圖舉例



3 則留言:

Terence 提到...

啊.....上面有個條件忘記寫了.
關於function slider_draw(R,L,e)
R=桿一長
L=桿二長
e=偏置量
主要概念在於先畫出外型.
然後再做出瞬心位置.
最後plot上去.

以上當初po文時,系統把它自動刪除了.
(很詭異...好像有語法衝到,自動刪除)
後來忘記編輯重修關於解釋文的部份.
茲以簡單補上,還望見諒.

Martin Foon 提到...

你難道不能直接上去修改自己張貼的文章嗎?此外,你做了那麼多的動畫,倒底那一個是那一個?

Terence 提到...

不好意思,教授.
關於條件的補上,我已經弄好了.
我的電腦真的最近很詭異.
當我重新編輯文章後.
有關於連結到youtube的影片.
全部編排都會大幅度的錯亂.
甚至會刪掉非常多我原本的內容.
然後出現許許多多的亂碼......

由於在發布時,我已反覆弄了不下五次.
每次都花了不少時間.
所以發現有缺失時~~~
這才偷懶用張貼意見的模式補上.
造成教授麻煩,非常抱歉~~~

另外,關乎影片的地方~~~
最初的三個影片,是屬於同個程式所為.
而後面的那個動畫~~~
是我後來又有想法,因此又多加上去的.
如果因而造成混淆,非常對不起~~~